By Patrice Tauvel

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Ii) ⇒ (i) Si (ii) est vérifié, pour tout x ∈ X , la suite (f n (x))n est de Cauchy, donc a une limite f (x) ∈ K. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que, pour tout x ∈ X , on ait : m N, n N ⇒ |fn (x) − fm (x)| ε. En faisant tendre m vers +∞, on obtient n N ⇒ |f (x) − fn (x)| ε pour tout x ∈ X . Par suite, f converge uniformément vers f sur X . 1. On désigne par E un espace métrique. 2. Soient a ∈ E et f = (fn )n une suite de fonctions sur E . On suppose que les fn sont continues en a et que f converge uniformément vers une fonction f sur E .

Comme |a1 + · · · + an | |a1 | + · · · + |an |, on peut supposer les ai positifs ou nuls. En posant α0 = 0, on a : α2n − 2an αn = α2n − 2[nαn − (n − 1)αn−1 ]αn = α2n [1 − 2n) + 2(n − 1)αn−1 αn (1 − 2n)α2n + (n − 1)[α2n + α2n−1 ] = (n − 1)α2n−1 − nα2n . On en déduit : N n=1 D’où : N n=1 α2n α2n − 2 N n=1 N 2 −N α2N an αn N an αn 2 n=1 n=1 a2n 0. 1/2 N n=1 α2n 1/2 . Si tous les an sont nuls, le résultat demandé est clair. Sinon, pour N assez grand, le membre de droite de l’inégalité précédente est non nul.

Ii) Pour tout t ∈ ] − r, r[, la suite n 1 f (k) (0)tk n → ρn (t) = f (t) − k! k=0 admet 0 pour limite. Si ces conditions sont vérifiées, f coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin sur ] − r, r[. Remarque. 5 sont vérifiées, il résulte de la formule de Taylor avec reste intégral que l’on a, pour |t| < r : t ρn (t) = 0 (t − u)n (n+1) f (u) du. n! 6. Soient r ∈ R∗+ et f : ] − r, r[→ R une application indéfiniment dérivable. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f (p) (t)| M pour tout t ∈ ] − r, r[ et tout p ∈ N.

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